τα κλάσματα στον μικρό ευκλείδη

Τα προβλήματα με κλάσματα 

από τους διαγωνισμούς του "μικρού Ευκλείδη" 
τα βρίσκετε αποδελτιωμένα 
εδώ.

Τις ασκήσεις με κλάσματα 
(και πάλι από τους διαγωνισμούς του "μικρού Ευκλείδη") 
τις βρίσκετε εδώ .

κλάσματα στην αριθμογραμμή

σε μορφή pdf εδώ .

πηγή: θέματα ε' τάξης από το διαγωνισμό της μαθηματικής εταιρείας
"Ο μικρός Ευκλείδης" (2017)

σκιάσεις κλασμάτων

Παρατίθενται συγκεντρωμένες οι ασκήσεις σκίασης μέρους 
από τον διαγωνισμό της Μαθηματικής Εταιρείας 
"ο μικρός Ευκλείδης".  
Εδώ μπορείτε να βρείτε τη συγκεκριμένη αποδελτίωση 
σε μορφή pdf.
Τα θέματα των διαγωνισμών και οι λύσεις τους εδώ .

προσθέσεις ομώνυμων κλασμάτων

Προσθέσεις ομώνυμων κλασμάτων

Μπορείς να διατυπώσεις τον κανόνα που προκύπτει;

κλάσμα μονάδας στην αριθμογραμμή

Μελετάμε κλάσματα της μονάδας στην αριθμογραμμή.

πρώτο μάθημα στα κλάσματα

Γράφουμε με μορφή κλάσματος
 το σκιασμένο μέρος του σχήματος

Κλάσμα τίνος;

Τρεις εργασίες για να εκφράσουμε 
με μορφή κλάσματος  το μέρος ενός συνόλου.

συγκρίσεις κλασμάτων με το ένα και με το μισό

Συγκρίσεις με το 1, το μισό και το μηδέν θα βρείτε εδώ 

και

ασκήσεις συμπλήρωσης ή αφαίρεσης για να φτάσουμε στο 1 ή στο μισό θα βρείτε εδώ.

ισοδύναμα κλάσματα

Για την κατανόηση της έννοιας εξαιρετικά χρήσιμες είναι οι 
δραστηριότητες με τον τοίχο των κλασμάτων   ή 
η κατασκευή του από τους μαθητές.

Φυλλάδια για την εξάσκηση στα ισοδύναμα κλάσματα:
  1. ισοδύναμα κλάσματα ακέραιας μονάδας με εικόνες

  2. ισοδύναμα κλάσματα ακέραιας μονάδας με εικόνες


   3. ισοδύναμα κλάσματα σε αριθμογραμμή

4. ασκήσεις απλοποίησης

5. συμπλήρωση όρου σε ισότητα κλασμάτων

6. συμπλήρωση κλάσματος σε σειρά ισοδύναμων .

εισαγωγή στα κλάσματα 2

1.  Ένα βήμα στην πορεία κατανόησης της έννοιας του κλάσματος αποτελεί η επέκταση της εφαρμογής της από την ακέραιη μονάδα σε ένα πλήθος που δεν ταυτίζεται με τον παρονομαστή του κλάσματος, π.χ. τα 3/5 του 10. Εδώ και εδώ θα βρείτε εργασίες για το συγκεκριμένο θέμα.

2.   Μερικές φορές τα παιδιά δεν παρατηρούν ότι τα μέρη στα οποία χωρίζουμε μια ποσότητα ή μια μονάδα πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους για να σχηματιστούν κλάσματα. Εδώ υπάρχει ένα φυλλάδιο για την αντιμετώπιση του συγκεκριμένου θέματος.

εισαγωγή στα κλάσματα

Στην ιστοσελίδα http://emathima.gr/ μπορείτε να βρείτε φυλλάδια για την εισαγωγή στα κλάσματα

Πιο συγκεκριμένα, από εκεί μπορείτε να κατεβάσετε υπάρχουν 4 φυλλάδια για:

Σκιάσεις μερών και ονομασία σκιασμένων μερών


ονομασία σκιασμένων μερών και μισά 

σκιάσεις μερών και αντιστοιχίσεις σκιασμένων μερών με κλάσματα

σκιάσεις μερών και επιλογή σωστού κλάσματος για σκιασμένο μέρος.

Επίσης στην ίδια ιστοσελίδα μπορείτε να βρείτε 

πολύ απλές καρτέλες κλασμάτων και

λιγότερο απλές καρτέλες κλασματικών μονάδων, όπου εμφανίζονται και οι αντίστοιχοι δεκαδικοί αριθμοί και τα αντίστοιχα ποσοστά στα εκατό.

ακολουθίες Φάρεϋ

 Είναι εύκολο να τοποθετήσουμε στη σειρά, από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, μια σειρά δεκαδικών αριθμών. Αλλά τι γίνεται με τα κλάσματα;

Κάποτε, ένας κύριος που λεγόταν John Farey ανακάλυψε σειρές κλασμάτων κατά μέγεθος (από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο), τις ονόμασαν ακολουθίες Φάρεϋ.

Η τρίτη ακολουθία Φάρεϋ είναι έτσι:


Περιέχει σε σειρά μεγέθους όλα τα κλάσματα μεταξύ του 0 και του 1, στην απλούστερη μορφή τους και με παρονομαστές που δεν ξεπερνούν το 3.  

Συνεχίζουμε με την τέταρτη ακολουθία Φάρεϋ.


Μπορείτε να βρείτε την πέμπτη;
5.

Ποια επιπλέον κλάσματα εμφανίζονται στην πέμπτη ακολουθία, ενώ δεν υπήρχαν στην τέταρτη;


Χρησιμοποιήστε την πέμπτη ακολουθία για να φτιάξετε την έκτη και την έβδομη. 

Να και κάποια επιπλέον ερωτήματα: 

Στην ενδέκατη ακολουθία υπάρχουν πολλά κλάσματα που δεν υπήρχαν στην δέκατη.
Υπάρχουν όμως μονάχα λίγα κλάσματα που εμφανίζονται στην δωδέκατη ακολουθία και δεν υπάρχουν στην ενδέκατη. 
Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί;

Πότε χρειαζόμαστε πολλά καινούργια κλάσματα για την επόμενη ακολουθία Φάρεϋ;

Κάθε Ακολουθία Φάρεϋ είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη; Πώς το ξέρουμε; 

Μέχρι τώρα κάθε ακολουθία Φάρεϋ περιέχει ένα μονό αριθμό κλασμάτων. Μπορείς να βρεις μια ακολουθία Φάρεϋ με ζυγό αριθμό κλασμάτων;

 πηγή: https://nrich.maths.org/2086

γαλάζιο και μπλε

 Ψάχνουμε το μέρος (κλάσμα) που καταλαμβάνει το γαλάζιο σε κάθε τετράγωνο. 

 

Μπορείς να βρεις ποια θα ήταν τα δύο επόμενα τετράγωνα, αν συνεχίζαμε με τον ίδιο τρόπο;

πηγή: https://nrich.maths.org/2105

το μουσείο των κλασμάτων

Στο βίντεο που ακολουθεί, ο δάσκαλος αξιοποιεί την ιδέα του μουσείου και των εκθεμάτων του, για να ωθήσει τα παιδιά να εμβαθύνουν στην έννοια του κλάσματος. Τα παιδιά "κατασκευάζουν" κλάσματα, τα εκθέτουν, συζητούν γι' αυτά με τους συμμαθητές τους, τα εξηγούν, φτιάχνουν μικρά αινίγματα και παίζουν μ' αυτά. 

Η μέθοδος που αξιοποιείται ίσως είναι προτιμότερη στις μικρές τάξεις (π.χ. στην τρίτη), όταν τα παιδιά μπορούν απλώς να εξοικειώνονται με την έννοια του κλάσματος, χωρίς να αναμένεται από αυτά να την ελέγξουν, όπως συμβαίνει στην πέμπτη.
Δυστυχώς, δεν υπάρχει μετάφραση.

https://www.youtube.com/watch?v=lizNJthlpr8

τρίγωνο

Παρακολουθήστε το βίντεο BryonyTriangle.mp4  στο οποίο η παρουσιάστρια δείχνει πως να φτιάξουμε ένα λουλούδι από ένα τετράγωνο χαρτί.

Στη συνέχεια θέτει ένα προκλητικό ερώτημα: τι μέρος (κλάσμα) του τετράγωνου χαρτιού αποτελεί το σκιασμένο τρίγωνο; 

 Πώς μπορούμε να σκεφτούμε για να απαντήσουμε το ερώτημα;
πηγή: https://nrich.maths.org/7392

κόβουμε στη μέση

Μπορείτε να κόψετε κάθε ένα από τα παρακάτω σχήματα έτσι ώστε τα δύο κομμάτια του να είναι ακριβώς ίδια μεταξύ τους;  

πηγή: https://nrich.maths.org/217

φυλλάδιο: εδώ

τετράγωνο, τρίγωνα, κλάσματα

Στο σχέδιο που ακολουθεί έχουμε ένα τετράγωνο. Από την πάνω δεξιά γωνία του χαράξαμε δύο ευθείες προς το μέσο των απέναντι πλευρών. Στη συνέχεια με μία νέα ευθεία ενώσαμε τα δύο μέσα. 

Σχηματίστηκαν 4 τρίγωνα. Τα διακρίνεις;
Τι μέρος (κλάσμα) της επιφάνειας του τετραγώνου αποτελεί κάθε τρίγωνο;

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το πρώτο σχέδιο, σχεδιάσαμε την εικόνα που ακολουθεί. Πώς;
Ποιο γεωμετρικό σχήμα εμφανίζεται στο κέντρο του σχεδίου μας;
Τι μέρος (κλάσμα) του συνολικού σχεδίου αποτελεί;

στα 2;

Κάποιος προσπάθησε να κόψει τα παραλληλόγραμμα σε δύο ίσα μέρη. Τα κατάφερε; πώς μπορείς να το ελέγξεις;

Μπορείς να βρεις κι άλλους τρόπους για να κάνεις την ίδια μοιρασιά;

πηγή: https://nrich.maths.org/1788
πρόσθετα υλικά: 1 , 2

εφαρμογή για κλάσματα

Ο σύνδεσμος που ακολουθεί παραπέμπει σε μία ηλεκτρονική εφαρμογή που μπορεί να φανεί χρήσιμη σε δασκάλες και δασκάλους που διαθέτουν διαδραστικό πίνακα (ή υπολογιστή και προτζέκτορα) και σύνδεση με το διαδίκτυο στην τάξη τους. 

Κάνει λίγο πιο εύκολη τη διδασκαλία της έννοιας του κλάσματος και τις συγκρίσεις κλασμάτων. 
Κερδίζεις χρόνο κι έτσι διευκολύνεις την μετατροπή των εννοιών σε εικόνες.  Ίσως όμως χάνεις σε σκέψη και φαντασία. Θα ήταν προτιμότερο να χρησιμοποιείται με μέτρο. 

https://www.mathlearningcenter.org/web-apps/fractions/

μοιράζοντας στα 2

Μπορείς να κόψεις ένα χαρτί Α4 σε δύο ίσα μέρη; Μπορείς να το κάνεις με πολλούς τρόπους; Με πόσους;

Προσπάθησε να βρεις όσους περισσότερους μπορείς. Μην το φοβάσαι, δοκίμασε διάφορους.
Μπορείς να ξεκινήσεις μ' αυτούς τους δύο.

Πώς θα βεβαιώνεσαι κάθε φορά ότι τα κομμάτια που έκοψες είναι ίσα;

πηγή: http://nrich.maths.org/13059